LA LiNEA RECtA

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS Nº 71

LA LINEA RECTA

ING. MARTHA REYNA

GEOMETRIA ANALITICA

KEYLA ALEJANDRA SALDAÑA FERRAL

3"K" NºL:44

TEMAS:

Pendiente y ángulo de inclinación.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
Determinación de la ecuación de la recta
Ecuación de la recta en la forma norma
Forma polar de la ecuación de la recta.
Ángulo de intersección entre dos rectas.
Familias de rectas.
Aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta.
Rectas y puntos notables de un triángulo.
Distintas formas de la ecuación de la recta.

La linea recta

Analíticamente hablando, una recta se define como una ecuación de primer grado en dos variables de la

forma:

Ax + By + C = 0

donde ,A ,B C son coeficientes numéricos y las variables son x y y .

La recta es el lugar geométrico de los puntos P( y,x ) que cumplen con la ecuación Ax + By + C = 0 .

Las características de una recta son la pendiente y la ordenada al origen.

Angulo de inclinación y pendiente

• La pendiente (m) se define como su grado de inclinación y es la tangente del ángulo (medido en

sentido contrario a las manecillas del reloj) que forma la recta con el eje x .

m = tan θ =Cateto opuesto/cateto adyacente

Todo ello por supuesto considerando que el entorno, genera los elementos necesarios para la utilización de las razones trigonometrícas osea exista un triángulo rectángulo en él. Ya que de lo contrario sería necesario aplicar algunas leyes como: (Ley de los cosenos o ley de los senos) para conocer ello, ya que serían otra clase de triángulo.

Por el camino del (Analísis vectorial) se sugiere además de la noción de razones trigonometrícas, el conocimiento de la ubicación de los vectores dentro del marco de un (Sistema de coordenadas)..

En lo que ha (Pendiente de una recta) se refiere, consideramos como (Pendiente) aquella magnitud que expresa la variación o crecimiento de un objeto con respecto a sí mismo, por ejemplo: El caso de la recta, indica el crecimiento de la misma al cabo del paso de una unidad. Sirviendo dicho hecho como una base para la construcción de algunos otros objetos más complejos.

Como se muestra, en la imagen:

La determinación del (ángulo de inclinación) ya en términos de su valor, es realizado bajo el contexto de la trigonometría por medio de la (Tangente y su función inversa) o bien a través del analísis vectorial..Ambos caminos conduciendonos al mismo resultado.

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas

Dos rectas son paralelas cuando nunca se unen en ninguna parte por lo tanto deben tener la misma inclinación.

De igual forma si sus pendiente son iguales y sus ángulos.

Dos rectas son perpendiculares cuando al interceptarse forman un Angulo de 90 grados.

Intersección: es cuando se cortan dos rectas.

Intercepción: Cuando solo se tocan.

Una recta va a hacer paralela cuando sean signos negativos(-)

Una recta va a hacer perpendicular cuando sean signos diferentes (-,+)

Una recta va a hacer oblicua cuando sus resultados sean diferentes.

Intercepción Intercesión

Rectas paralelas

Dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, esto implica que sus tangentes son iguales, es decir, las pendientes coinciden.

Condición de paralelismo

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si y solo si , sus pendientes son iguales

m1 = m2

Rectas perpendiculares

Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que difieren en 90 grados , esto implica que sus tangentes son reciprocas y difieren en signo, es decir, el producto de sus pendientes es -1

Condiciones de perpendicularidad
Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes

s -1

m1m2 = -1

Determinacion de la ecuacion de la recta

puede estar determinada de distintas maneras, en este capitulo veremos alguna de ellas.

Sabiendo un punto y su pendiente.
Conociendo un punto y su dirección.
Conociendo dos de sus puntos.
Con su pendiente y la intersección con el eje OY (ordenada en el origen)
Conociendo los valores de sus intersecciones con los ejes coordenados.

La forma mas fácil para encontrar la ecuación de una recta es conociendo uno de sus puntos P(x₀,y₀) y su pendiente m.

Basta recurrir a la expresión punto-pendiente y-yo=m(x-x₀)

Ecuación de una recta cuando conocemos uno de sus puntos P(x₀,y₀₎ y su dirección

La dirección del vector nos da la pendiente de la rectalo que nos lleva al caso

Forma polar de la ecuación de la recta.

A fin de manejar potencias y reales de números complejos de manera eficiente, se definirá la forma trigonométrica o polar de un número complejo. La forma a + bi se conoce como la forma rectangular del número, ya que a y bpueden considerarse como los componentes rectangulares del vector que representa al número. Esta representación gráfica facilita la obtención de la forma polar. En la figura 1 se muestra la representación vectorial del número a + bi. La longitud o magnitud del vector se denotar y se reconoce de inmediato que

es lo que se ha denominado valor absoluto del número complejo. Además, el ángulo de la figura 1 se encuentra dado por

Llamaremos a ángulo del número complejo, pero igual que al valor absoluto con frecuencia se le denomina módulo del número, al ángulo del número complejo a menudo se lo conoce comoamplitud o argumento del número.

Esta nueva forma, que muestra el valor absoluto y el ángulo del número complejo, se le denomina forma polar del número complejo. Como muchos autores hacen, se abreviará la cantidad encerrada entre paréntesis como cis; de manera que

Como se sabe, a partir de la trigonometría, el ángulo puede aumentar o disminuir en un entero múltiplo de 360^o sin que cambie el valor del seno o del coseno del ángulo.

Angulo de interseccion entre dos rectas

Se define el ANGULO entrel₁y l₂ como
el ángulo positivo obtenido al rotar la rectal₂ hacia l₁.
En este caso, el ángulo entre l₁y l₂ viene dado por:
b₁ = q₁ - q₂(1)

El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.

De la igualdad (1) se tiene:

tan b₁ = tan (q₁ - q₂)

(2)

También,

cot b₁ = cot (q₁ - q₂)

(3)

Puesto que m₁=tan q₁ y m₂=tan q₂ , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:

tan b₁

(2)

y cot b₁

(3)

Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b₁, entre las rectas l₁y l₂en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.

FAMILIA DE RECTAS

La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas, ésta definición es útil para hallar la ecuación de una recta en particular. La familia de rectas se clasifica en tres grupos los cuales son:

FAMILIAS DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA.

Si la ecuación de la recta dada es Ax+By+C=0 y su pendiente es m=-A/B, entonces el conjunto de rectas L1 y que son paralelas a L2 tendrán por ecuación y=mx+b, por el criterio de paralelismo.

Y=-A/Bx+b entonces Ax+By+Bb

Si sustituimos la cantidad constante B por el parámetro K tendremos la ecuación de la familia de rectas paralelas a L1

L1: Ax+By+K=0

FAMILIA DE RECTAS PERPENDICULARES A UNA RECTA DADA.

Si conocemos la recta L1:Ax+By+C=0 con pendiente m=-A/B y si y=mx+b es cualquiera de las rectas, L1 entonces por el criterio de perpendicularidad su ecuación será de la forma:

Y=B/Ax+b entonces L1=Bx-Ay+Ab=0

Si sustituimos por el producto Ab por el parámetro K obtenemos:

L1:Bx-Ay+K=0

FAMILIA DE RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS.

El conjunto de rectas pueden ser 1,2,3……..n, que pasan por un punto se la llama también familia de rectas con centro P.

Si:

L1:Ax1+By1+C1 Y L2:A2x+B2y+C2=0

Son las rectas dadas que cortan en el centro P, la ecuación:

L1: α(A1x+B1y+C)+β(A2x+B2y+C2)=0

Multiplicando a la primera recta por α y a la segunda recta por β y a este resultado lo dividimos por α y si suponemos que β/α=K tendremos:

A1x+B1y+C1+K(A2x+B2y+C2)=0

Por medio de esta ecuación se puede determinar cualquier recta de la familia con centro P. El parámetro K es una constante para cada miembro de la familia que varía de recta en recta

Aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta.

A)CALCULO DE LA DISTANCIA A UNA PUNTO DADO

1-DISTANCIA NO DIRIGIDA

LA DISTANCIA “d” DE UN PUNTO P1 = x1-y1 a una recta cuya ecuación es L;Ax+By +C=0

SE OBTIENE MEDIANTE:

2-DISTANCIA DIRIGIDA

LA DISTANCIA “d” DE UN PUNTO P1 = x1-y1 a una recta cuya ecuación es L;Ax+By +C=0

SE OBTIENE MEDIANTE:

Rectas y puntos notables de un triángulo.

Las rectas y puntos notables de un triángulo son:

las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
las medianas, , que se cortan en el baricentro, , centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia

inscrita del triángulo;
las alturas, , que se cortan en el orto centro,

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa

En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Las medianas

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las de .
Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar se han definido otros tres triángulos iguales: .

Las alturas.

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su orto centro es interior al triángulo.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

PUNTO-PENDIENTE

Dados los puntos P( y,x ) y (x1,y1)

se observa que la pendiente es:

m=tan θ=

ahora, si se despeja y – y1 queda:

y − y 1= m( x – x1)

que es la ecuación punto-pendiente de la recta.

PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN

Si en el caso anterior, el punto P1 se desplaza hasta que coincida con el eje y , se tiene:

Se advierte que el punto P1 (x1,y1 ) se convierte en P1 (0, b) , donde b es la ordenada al origen.

Para este caso la pendiente es:

DOS PUNTOS (CARTESIANA)

Dados los puntos P(x,y), P1( x1,y1 ) y P2 (x2,y2 ) de una recta

observa que la pendiente que une a los puntos P y P1 es:

FORMA GENERAL

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: laecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:

TEOREMA